如何做研究 做硬了是豆腐干，做稀了是豆腐脑，做薄了是豆腐皮，做没了是豆浆，放臭了是臭豆腐！稳赚不亏呀！ [系列文章]给师弟师妹们的几句话— 受版主之托，我这个老南大的来和学弟、学妹们谈谈。其实我们系老师中 牛人多的是，我在此班门弄斧各位不要见笑；个人之见也未必正确，只是说说心中对研究 的感受而已。大家可能正在做研究或将要做研究，我的感悟仅供大家参考。 做好研究的第一要素是你对所研究的课题真心感兴趣。 有人做科研是迫于生存压力，有人写论文只是为了提职称。按这样的心态，升上教授 的往往缺乏进一步的科研动力。我就经常被人问道：“教授都升了，还一个劲地写文章干 什么？”Euler, Erdos, Tao 等数学家的多产并不是单纯为了名或利，他们是真心热爱数学 啊，为数学痴，为数学狂！ 做好研究的第二要素是要走有自己特色的研究道路。 八十年代流行分形与模糊数学，九十年代流行代数几何，现在低维拓扑与几何分析又 因Poincare 猜想红火一阵子。如果你总喜欢时髦的东西，你就得不断换领域。2000 年在大 连的一次会议上，徐利治老教授发出这样的感慨：数学那么多分支，有几个是中国人开创 的？盲目的跟风不是办法，你追得气喘吁吁，到头来可能还是被人家远远甩在后头。我那 也做数学研究的老兄经常提到，伟大的Grothendieck 当初就是不愿跟风学Weil 那套代数几 何而能自创代数几何发展的新框架。等到理论登蜂造极、结果完美深刻而引起轰动时，你 再去关心这热门的东西可能为时已晚了。我的一位已毕业的博士在读了Green 与Tao 大量论 文后感叹道：他们已做得非常深入与全面，又无比用功，要想捡点他们遗漏未做的可行课 题真难啊！有些领域已趋于完善或处于强弩之末，人家觉得没什么油水走了，你才来就嫌 晚了。聪明的研究者往往选准一个很有潜力但仍处于发展时期还未成熟的领域，并能做出 一些奠基性贡献。数学大师陈省身教授就是这方面的楷模。 做好研究的第三要素是既要有雄心壮志又不要好高骛远。 综观数学史，真正流芳百世的数学工作要么具有高度原创性（如Newton-Leibniz 公式 、Godel 不完备性定理、Langlands 纲领），要么使一些经典难题得到完美的解决（如Wile s 证明Fermat 大定理，Perelman 解决Poincare 猜想）。通俗地说，数学英雄要么是第一个开 创的，要么是最后一个关门的。处于中间的那批数学家多数默默无闻，只是为他 裳或铺路石。 因此有雄才大略的数学家很少去做中间结果，很少去做不那么重要的平行发 展或者推广。但做研究者也应清楚自己的研究能力，切忌过分的好高骛远。有些名题要等 火候到了才有解决的希望，Wiles, Perelman, Tao 的突破性工作都因为有前人做了铺垫已 看到解决的曙光。火候不到， 强攻是没有用的。你可以炫耀你在做超级难题（如Riemann 假设），但你能解决才是真本事。功力不够的人强攻名题徒耗时间而已，要等到真的天才 横空出世才行。陈景润不做出“1+2”，估计三、五十年也没人做得出；Perelman 在Poinc are 猜想上的突破也是别人很难代替的；Green-Tao 的惊人定理也是划时代的杰作。天才的 作用就在于此！ 做好研究的第四要素是要有所为有所不为。 什么是好的数学？仁者见仁，智者见智。我以为那些数学中不得不用、无法逃避的东 西才是真正的好数学，才能进入教科书。这样的例子有：Fibonacci 序列，Newton-Leibni z 微积分基本公式，群论中Sylow 定理等。如果一个结果太专门而没什么大的用途，最多只 是可能被专著提及。Hardy 曾说过，他们那里有位教授满腹经纶却无法在数学史上占有一席 之地，相比之下许多高深数学都不甚明了的Fary 却因引入初等但在丢番图逼近中有用的Fa ry 序列而在数学上留名。这告诫我们，原创性贡献才是最重要的。懂得艰深的东西固然不 易，但只有你自己在那领域作出突出贡献才真正可喜。研究课题很多而时间有限，我们做 研究的必须有所为有所不为！ 以前系里经常有人拿小孩碰到的很难的几何题来问我们，对 研究者来说去做有答案的或没价值的题目有点浪费时间（当然帮人解题学雷锋还是要表扬 的）。也有不少社会上的人问我一些不重要的数学问题（如数组的排列设计问题），但有 更值得我做的重要课题时只好无暇理会这些（请不要把这误会为冷漠）。 做好研究的第五要素是要在学术上建立自己的根据地并不断扩展“地盘”。 我这里说的不是搞个学术小团体，而是说要有一块你最拿手的进可攻退可守的数学阵 地。如果在某个课题上你钻研多年后能轻松驾驭它，对其熟练程度几乎无人匹敌，那你就 有块自己“根据地”而不必担心生存问题了。尽管你可在自己根据地上反复耕耘收获果实 ，但别忘了要经常想着扩展地盘。为此，你要一边做熟悉课题的研究，一边学相近领域的 新知识。中国的经济要考虑可持续发展，我们的科研也要考虑后劲与长远规划。如果你有 几个擅长的课题在手，这方面陷入僵局时可放一放 做好研究的第六要素是要有强烈的竞争意识与紧迫感。 现在的数学不同于Euler 那个时代，数学家很多，竞争异常激烈。20 世纪前三十年，由 于抽象代数、泛函分析等领域的兴起，数学家有忙不完的研究课题。现在，要产生新的数 学分支很不容易了。老的分支越来越成熟，剩下的难题基本都是硬骨头。林群院士在南开 的一次报告中说，不同于过去的发明时代，现在数学进入证明时代。我们做研究的，一旦 有重要突破就要乘胜追击，完胜后迅速公开成果。发现一个金矿不容易，没挖出主要的就 弃矿而走让别人拣了便宜就太可惜了。数学上经常有两位甚至数位数学家同时独立发现一 个重要事实或解决多年的难题，考虑到好结果的优先权你就得有紧迫感。 做好研究的第七要素是要有辨证的思维与综合运用多方面知识的能力。 当你体会到某方法的强大威力时不要被胜利冲昏头脑，要看到该方法的局限性。举例 来说，1983 年Kemnitz 猜想平面上任何4n-3 个整点中必可取出n 个整点使其重心仍为整点， 用初等方法是无法解决这一困难猜测的。2000 年有人使用Alon 强有力的代数方法成功地证 明4n-3 换成4n-2 时猜想正确。我也很推崇用代数方法做组合问题，但遗憾的是Kemnitz 猜 想 依然无法解决，尽管4n-2 与4n-3 仅相差1. 2003 年德国年轻人Reiher 出人意料地将代数方 法与组合方法巧妙地结合起来，一举攻下有20 年之久的Kemnitz 猜想。这件事给我极大的震 撼，任何方法再强大也有局限性，有时必须把它与别的你可能忽视的方法结合起来。知识 面的宽广很重要，Green-Tao 关于素数等差数列的著名工作中就用到了解析数论、图论、遍 历理论、Fourier 分析等众多知识。因此我们要不断学习新东西，了解其它领域。你学的东 西在研究中未必派上用场，但不懂的工具你肯定不会用。 不多写了，我还有好多学术上的事要处理。欢迎大家批评指正！